En el dictionnaire Universel, publicado en 1753, Saverien dice en la Pág. 242 del tomo I:
“El señor Hudde inventó una línea singular mediante la cual trata de expresar todos los lineamientos del rostro de un hombre conocidos y definirlos por una ecuación algebraica. Una idea tan extraordinaria le fue comunicada al señor Leibniz en actas de Leipsic ANN. 1700, Pág. 196; y este asegura que podía construir semejante curva. Sin embargo esta construcción nunca se conoció.”
Si la curva analítica del rostro del hombre quedó siendo el secreto del señor Hudde, Centenares de curvas mas razonables ilustran las obras de algebra y geometría; la mayor parte de esas curvas son armoniosas, muchas son útiles y algunas sorprendentes.
Tales curvas fueron trazadas por los matemáticos cuando buscaban lugares geométricos, representaciones concretas de funciones o soluciones de problemas que no podían resolver sino mediante intersecciones gráficas. Las curvas son muy antiguas puesto que ya los griegos de la antigüedad construyeron las cónicas, la cisoide de Diocles – para la duplicación del cubo -, la concoide de Nicomedes – para la trisección del ángulo -, la espiral de Arquímedes y muchas otras.
Descartes, al crear geometría analítica, provocó un nuevo abundante florecimiento de curvas; Newton clasificó las cúbicas en 72 clases (se olvidó de 6) y Plucker agrupó las cuartitas en 152 tipos.
Los físicos, los economistas, los estadísticos crearon a su vez curvas que les ayudaron a visualizar o resolver sus problemas, como la catenaria, la ruedecilla, la curva en forma de campana, etc.
Por fin, en el curso de los últimos decenios, los matemáticos imaginaron curvas “particularmente monstruosas”, curvas sin tangentes o curvas que pasan por todos los puntos de un cuadrado.
En el Intermediaire des Mathématiciens de 1987, el geómetra Henri Brocard da una lista parcial de curvas cuyos nombres atestiguan el eclecticismo y a veces el sentido poético de sus padrinos; se trata de la lista siguiente:
Anillo de Newton – Arco zarpanel o asa de cesto- armilla – astroide – alforja – bicornio – bifolium – cardioide – catacsutica – catenaria – causticas – circulo – cadenilla – cisoide – clotoide – cicloide – ciclo de Carnot – bocel – elipse – epicilo – ventana de Viviani – figura de Lissajous – flor de azmin – folium de Descartes – fragata – insinuada – helice – hiperbola – hipocicloide – isanemona – isoquimera – Kampyle de Euxode – kukumaeida – lemniscata de Bernoulli – caracol de Pascal – loto – loxodromica – nudo inextricable – ovalo de Cassini – ovalo de Descartes – parábola – perlas de Sluze – radioide – rosetón de cuatro petalos – ruedecilla – escarabajo – serpentina – sinusoide – espiral de Arquímedes – estrofoide – toroide – tridente de Newton – trébol equilátero – trifolium – trisectriz – versiera (o hechicera de Agnesi) – voluta – zodiaca -, a las cuales hay que agregar la anginea, la parábola cúbica - la parábola divergente – la cúbica de Chasles – la curva de Watt – la curva de Talbot – la curva del diablo – la curva de los forzados – la cuadratriz de Dinostrato – las espirales de Galileo – de Fermat – de Poinsot – la coclearoide – la trocleoide – la curva de Ribaucour – la curva del pez – el collar de perlas – la cuartita piriforma, etc.
A continuación se presentan varias curvas. Las primeras son curvas algebraicas que presentan funciones algebraicas de dos variables x e y, es decir, funciones constituidas por polinomios de coeficientes racionales; las segundas son curvas trascendentes, que presentan funciones trascendentes (es decir, no algebraicas), tales como aquellas en las cuales las variables se manifiestan en líneas trigonométricas, en exponentes, en logaritmos, etc. Por ultimo, doy un ejemplo de curvas que representan una ecuación diferencial; el interés que tienen en estas curvas – o más exactamente estas familias de curvas – se reconoce desde Henri Poincaré, que en 1880 y 1881 les dedicó varios trabajos importantes. La hermosa curva representada está tomada de “Courbes Mathematiques” de Jean Brette, publicado en el numero especial de julio de 1976 de la Revue du Palais de la découverte; el señor Jean Brette me autorizó a reproducirla y se lo agradezco.
Curvas algebraicas
Segundo orden
1. Circulo. Lugar de los puntos equidistantes de un punto dado llamado centro.
2. Elipse. Lugar de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos dados, llamados focos es constante.
3. Hipérbola. Lugar de los puntos en los que la diferencia de las distancias a dos puntos dados, llamados focos, es constante (aquí, hipérbola equilátera).
4. Parábola. Lugar de los puntos cuyas distancias respecto de un punto dado, llamado foco, y de una recta dada, llamada directriz, son iguales.
Tercer orden
5. Trébol equilátero.
6. Cúbica de Agnesi, o versiera o bruja.
7. Trisectriz de Mac – Laurin. Contribuyó a la solución gráfica del problema de la trisección del ángulo.
8. Tridente de Newton.
9. Parábola divergente.
Cuarto orden
10. Bicorne
11. Caracol de Pascal, concoide de un círculo dado. Esta curva fue estudiada por Roberval quien le dio su nombre en honor del padre del gran matemático.
12. Cardioide. Lugar de las proyecciones del origen sobre las tangentes a un círculo que pasa por ese origen (podaria).
13. Lemniscata de Bernoulli. Lugar de los puntos el producto, de cuyas distancias respecto de dos puntos fijos llamados focos es constante.
14. Cúartica piriforme.
15. Alforjas.
16. Trifolium.
17. Hipocicloide de tres alabeos. Lugar geométrico del punto de un circulo en el interior de un circulo tres veces mayor.
18. Ovalo de Descartes. Lugar de los puntos cuyas distancias r y r2 respecto de dos puntos fijos están ligadas por una relación de la forma ar + br’ = c.
19. Curva del diablo.
Sexto orden
20. Curva de Talbot. Antipodaria de la elipse.
Octavo orden
21. Toroide
Trigésimo octavo orden
22. Curva de Moritz.
Curvas trascendentes
23. Sinusoide
24. Espiral de Arquímedes
25. Espiral de Femat.
