Las Curvas Matemáticas

LAS CURVAS DE LOS MATEMÁTICOS

En el dictionnaire Universel, publicado en 1753, Saverien dice en la Pág. 242 del tomo I:
“El señor Hudde inventó una línea singular mediante la cual trata de expresar todos los lineamientos del rostro de un hombre conocidos y definirlos por una ecuación algebraica. Una idea tan extraordinaria le fue comunicada al señor Leibniz en actas de Leipsic ANN. 1700, Pág. 196; y este asegura que podía construir semejante curva. Sin embargo esta construcción nunca se conoció.”


Si la curva analítica del rostro del hombre quedó siendo el secreto del señor Hudde, Centenares de curvas mas razonables ilustran las obras de algebra y geometría; la mayor parte de esas curvas son armoniosas, muchas son útiles y algunas sorprendentes.

Tales curvas fueron trazadas por los matemáticos cuando buscaban lugares geométricos, representaciones concretas de funciones o soluciones de problemas que no podían resolver sino mediante intersecciones gráficas. Las curvas son muy antiguas puesto que ya los griegos de la antigüedad construyeron las cónicas, la cisoide de Diocles – para la duplicación del cubo -, la concoide de Nicomedes – para la trisección del ángulo -, la espiral de Arquímedes y muchas otras.

Descartes, al crear geometría analítica, provocó un nuevo abundante florecimiento de curvas; Newton clasificó las cúbicas en 72 clases (se olvidó de 6) y Plucker agrupó las cuartitas en 152 tipos.

Los físicos, los economistas, los estadísticos crearon a su vez curvas que les ayudaron a visualizar o resolver sus problemas, como la catenaria, la ruedecilla, la curva en forma de campana, etc.

Por fin, en el curso de los últimos decenios, los matemáticos imaginaron curvas “particularmente monstruosas”, curvas sin tangentes o curvas que pasan por todos los puntos de un cuadrado.

En el Intermediaire des Mathématiciens de 1987, el geómetra Henri Brocard da una lista parcial de curvas cuyos nombres atestiguan el eclecticismo y a veces el sentido poético de sus padrinos; se trata de la lista siguiente:

Anillo de Newton – Arco zarpanel o asa de cesto- armilla – astroide – alforja – bicornio – bifolium – cardioide – catacsutica – catenaria – causticas – circulo – cadenilla – cisoide – clotoide – cicloide – ciclo de Carnot – bocel – elipse – epicilo – ventana de Viviani – figura de Lissajous – flor de azmin – folium de Descartes – fragata – insinuada – helice – hiperbola – hipocicloide – isanemona – isoquimera – Kampyle de Euxode – kukumaeida – lemniscata de Bernoulli – caracol de Pascal – loto – loxodromica – nudo inextricable – ovalo de Cassini – ovalo de Descartes – parábola – perlas de Sluze – radioide – rosetón de cuatro petalos – ruedecilla – escarabajo – serpentina – sinusoide – espiral de Arquímedes – estrofoide – toroide – tridente de Newton – trébol equilátero – trifolium – trisectriz – versiera (o hechicera de Agnesi) – voluta – zodiaca -, a las cuales hay que agregar la anginea, la parábola cúbica - la parábola divergente – la cúbica de Chasles – la curva de Watt – la curva de Talbot – la curva del diablo – la curva de los forzados – la cuadratriz de Dinostrato – las espirales de Galileo – de Fermat – de Poinsot – la coclearoide – la trocleoide – la curva de Ribaucour – la curva del pez – el collar de perlas – la cuartita piriforma, etc.

A continuación se presentan varias curvas. Las primeras son curvas algebraicas que presentan funciones algebraicas de dos variables x e y, es decir, funciones constituidas por polinomios de coeficientes racionales; las segundas son curvas trascendentes, que presentan funciones trascendentes (es decir, no algebraicas), tales como aquellas en las cuales las variables se manifiestan en líneas trigonométricas, en exponentes, en logaritmos, etc. Por ultimo, doy un ejemplo de curvas que representan una ecuación diferencial; el interés que tienen en estas curvas – o más exactamente estas familias de curvas – se reconoce desde Henri Poincaré, que en 1880 y 1881 les dedicó varios trabajos importantes. La hermosa curva representada está tomada de “Courbes Mathematiques” de Jean Brette, publicado en el numero especial de julio de 1976 de la Revue du Palais de la découverte; el señor Jean Brette me autorizó a reproducirla y se lo agradezco.

Curvas algebraicas

Segundo orden
1. Circulo. Lugar de los puntos equidistantes de un punto dado llamado centro.
2. Elipse. Lugar de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos dados, llamados focos es constante.
3. Hipérbola. Lugar de los puntos en los que la diferencia de las distancias a dos puntos dados, llamados focos, es constante (aquí, hipérbola equilátera).
4. Parábola. Lugar de los puntos cuyas distancias respecto de un punto dado, llamado foco, y de una recta dada, llamada directriz, son iguales.


Tercer orden

5. Trébol equilátero.
6. Cúbica de Agnesi, o versiera o bruja.
7. Trisectriz de Mac – Laurin. Contribuyó a la solución gráfica del problema de la trisección del ángulo.
8. Tridente de Newton.
9. Parábola divergente.


Cuarto orden

10. Bicorne
11. Caracol de Pascal, concoide de un círculo dado. Esta curva fue estudiada por Roberval quien le dio su nombre en honor del padre del gran matemático.
12. Cardioide. Lugar de las proyecciones del origen sobre las tangentes a un círculo que pasa por ese origen (podaria).
13. Lemniscata de Bernoulli. Lugar de los puntos el producto, de cuyas distancias respecto de dos puntos fijos llamados focos es constante.

14. Cúartica piriforme.
15. Alforjas.
16. Trifolium.
17. Hipocicloide de tres alabeos. Lugar geométrico del punto de un circulo en el interior de un circulo tres veces mayor.
18. Ovalo de Descartes. Lugar de los puntos cuyas distancias r y r2 respecto de dos puntos fijos están ligadas por una relación de la forma ar + br’ = c.
19. Curva del diablo.



Sexto orden
20. Curva de Talbot. Antipodaria de la elipse.


Octavo orden
21. Toroide

Trigésimo octavo orden
22. Curva de Moritz.

Curvas trascendentes
23. Sinusoide
24. Espiral de Arquímedes
25. Espiral de Femat.

Probabilidad y Estadistica

Marco Teorico

Siglo XVI
Gerolomano Cardano da los primeros manejos matemáticos del azar

Siglo XX (1997)
Sholes y Merton. Ganan el premio Nóbel de economía por la obtención de la formula que permite saber la valoración de opciones de compra y venta europea.

Siglo XVII - XVII
James Bernoulli enuncia la ley de los grandes números

Siglo XX (1933)
Andrei Kolmogoro axiomatiza la teoría de la probabilidad.

Siglo XVIII
Laplace define la probabilidad como cociente entre casos favorables y casos posibles.

Comienzo del Siglo XX (1901)
G. Bohlman formula la primera aproximación a la axiomatización de la teoría de la probabilidad.

Comienzo del Siglo XX (1900)
David Hilbert plantea la necesidad de axiomatizar la teoría de la probabilidad.

Desde los tiempos del primer emperador romano eran comunes los juegos de azar y la elaboración de tablas de mortalidad. Tiempo después la estadística y la probabilidad se fueron separando gracias a la diferencia de objetivos que tenían, pero sin peder su relación.

Un famoso problema de probabilidad fue el planteado a Galileo por el príncipe de Toscana quien era muy aficionado al juego de los dados. Este le preguntó porque al tirar tres dados y sumar sus resultados era más frecuente obtener diez puntos que nueve. Galileo, después de hacer un análisis en una tabla con todos los posibles resultados, le respondió que el diez podía obtenerse de 27 formas diferentes mientras que el nueve solo se podía obtener de 25 formas distintas. ¿Cuáles fueron esas formas diferentes?

Aunque pareciera que la posibilidad es la misma, a la luz de la teoría de la probabilidad, es más probable obtener diez que nueve, como lo había notado el príncipe de Toscana.

Las aplicaciones de la teoría de la probabilidad y estadística en la actualidad son numerosas. Cualquier juego de azar esta basado en las dos teorías, incluso se utilizan en la fabricación de objetos con calidad. Por ejemplo, en lugar de revisar la producción de un mes en una fabrica, lo cual será muy dispendioso, se hace el análisis con una muestra de la producción.

APLICACIONES REALES
Difusión de información mediante graficas
En todas las ramas del conocimiento se tiene información que se puede organizar y comunicar mediante representaciones graficas de datos.

A continuación se presenta alguna de las graficas que se encuentran con mayor frecuencia en alguno de los medios de comunicación.

LAS APUESTAS ELECTRONICAS
En la actualidad, con los avances en los computadores, su programación y cómo hacerlos funcionales en diferentes ámbitos, se han desplazado algunas formas tradicionales de realizar las apuestas, tales como los billetes preimpresos o los formularios que los vendedores llenan a mano. Hay posibilidades de hacer apuestas de diferentes clases, por ejemplo, las apuestas con los diferentes marcadores de los partidos de fútbol y el baloto, en los que si el apostador lo desea le puede pedir a la maquina que le realice una apuesta automática.

Seguramente habrás pensado en cual es la probabilidad de ganarse una apuesta de este tipo, o porqué aunque se ganan los premios siempre la empresa obtiene ganancias, o si será posible que la máquina realice tantas apuestas automáticas que junto con las que realizan los clientes por su elección, en algún momento se puedan complementar todas las opciones.

Todas las inquietudes antes mencionadas son estudiadas por las empresas que proponen este tipo de apuestas, quienes a su vez consultan a matemáticos o estadísticos para llevar a un buen término su negocio y obtener siempre ganancias.

Comparte lo que sabes.

• ¿Para que sirve un censo poblacional?
• ¿Con que frecuencia un martes de este año cae 13?
• Consigue de periódicos o revistas, graficas estadísticas e interprétalas en tu cuaderno.
• Calcula el promedio de las edades de las personas que viven contigo.
• Da un ejemplo de un hecho que es imposible que ocurra y de uno que ocurrirá con toda seguridad.
• ¿Qué significa en el lenguaje ordinario la palabra permutar?
• Si se tienen tres sabores diferentes de helados, ¿De cuantas maneras se pueden combinar?
• Define el concepto de los temas de cada pregunta.

Historia de un circulo y un cuadrado

Historia de un Circulo y de un Cuadrado

En la página de un libro de geometría que había firmado Comberousse se encontraban un cuadrado y un círculo.
Como el libro era de poco consultado, los dos se aburrían y generalmente disputaban.
- Yo soy mas grande - decía el primero-. Pues un circulo es un cuadrado cuyos ángulos han sido recortados.
El Círculo replicaba:
- Es todo lo contrario justamente, pues un circulo es un cuadrado en el cual se ha soplado y así se ha hinchado.
Como no podían ponerse acuerdo sobre la superficie, pasaron a hablar de la belleza.
- Yo soy símbolo de solides -decía el cuadrado-. La igualdad de mis cuatro lados y sobre todo mis ángulos, mis ángulos de ochenta grados*. Confieren a mi figura una armonía vigorosa y segura
- El circulo respondía:
- En la solides que tanto alabas, no veo sino vulgaridad. Tu vigor primario no me seduce nada. Te considero como una medida de superficie nada mas. En cuanto a mi, de todas las curvas soy la que mejor esta hecha. Los astros adoptaron mi contorno, los artistas recurrieron a mi curvatura y los hombres andan alrededor de mis pues, como sabes muy bien, nada conmueve tanto su carne como el orgulloso hemisferio de un trasero o de un seno femenino. En lo que se refiere a la utilidad, si deseas que hablemos de eso, mi superioridad en este dominio es absolutamente segura. Soy la rueda y habría que ser loco, convendrás en ello, para no admitir que la rueda lo es todo.
- Si no es todo, es sin embargo mucho -reconoció el cuadrado-. Pero yo presto también algunos servicios; soy la base, créeme, de los edificios mas durables.
El circulo se encogió de arco.
- Tu eres estático y lo que no se mueve muere; así lo señalan las estadísticas. Yo soy movimiento y en ese terreno soy irreemplazable. Si las ruedas de las carreteras fueran cuadradas, creo en verdad que seria difícil hacerlas avanzar.
Y así reñían durante días enteros. Nadie se atrevía a ponerlos de acuerdo. Habría sido un problemas de arduo y vano como el de la cuadratura del circulo.
Ahora bien, un día un niño que volvía la paginas del libro y al pasar hacia garabatos, dibujo rostros en una y la otra figura. El cuadrado quedo convertido en una cabeza austera y bigotuda. Al circulo le puso cabellos y pestañas en los ojos y le infundio un aire tan gracioso que era menester de toda evidencia pasarlo al genero femenino y que por decencia se lo llamara circunferencia.
Fácil es adivinar lo que ocurrió después. La curva y la rigidez que antes los había irritado durante tanto tiempo parecieron llenos de atractivos a sus sexos opuestos. Púberes, se miraron, luego se amaron y se casaron.
Al principio todo marcho bien. Es natural. La circunferencia se complacía en rodar sobre los lados de su cuadrado y experimentaba placer en demorarse en los ángulos duros que le cosquilleaban su curvatura.
Pero luego la circunferencia se canso. Como era de cascos ligeros, no tardo en descubrir polígonos menos monótonos en las cercanías de la pagina. Primero la sedujo el rectángulo por su silueta espigada. Mantuvo relaciones con él. Luego admiro la elegancia esbelta del rombo y el perfil aguzado de triangulo. También se solazo con el trapecio, y con el paralelogramo creyó que rendía el alma.
En su rincón, el cuadrado se aburría. Lo irritaba ser cornudo. Luego fastidiado se pregunto como podría reconquistar el amor y los favores de su voluble esposa.
Se puso a considerar a sus rivales y, como no era tonto, llego a la conclusión de que era demasiado grueso.
"Demasiado grueso", pensó "y ¿por que no confesarlo?, demasiado cuadrado". Habría querido transformarse pero, ¡ay!, sus ángulos, sus ángulos de ochenta grados, como el creía, habían sido determinados para toda la eternidad.
Como no podían deformarse, un día se le ocurrió la idea de plegarse. Lo hizo por su diagonal y, en virtud de una trivial maniobra, se redujo a la mitad con lo cual se convirtió sin mas ni mas en un triangulo isósceles y rectángulo. La circunferencia, conquistada por ese audaz artificio, volvió a sentir gusto por su esposo.
De su hipotenusa la circunferencia se hizo un diámetro e hizo cuerdas de los lados que le estaban tensamente o bien se refugiaba en el hueco de sus bisectrices donde la abrazaba su tierno perímetro.
Pronto, sin por ello ser mas o menos redonda, la circunferencia se encontró embarazada, pero no quisieron tener por hijo a una figura híbrida, ni siquiera a un pequeño polígono como aquellos grandes con los cuales ella no había tenido reparos en tratar.
Hicieron el voto de que en su momento la circunferencia diera a luz un teorema.
Y fue, en efecto, un teorema el hijo que tuvieron, un hijo grande y fuerte. Lo llamaron Pitágoras.